c'est extrait des premières pages du "Progrès de la conscience dans la philosophie occidentale" de Brunschvicg :

"

Ces observations contiennent le secret de l’histoire du pythagorisme. L’homo sapiens, vainqueur de l’homo faber, y est vaincu par l’homo credulus. Grâce aux démonstrations irréprochables de l’arithmétique pythagoricienne, l’humanité a compris qu’elle possédait la capacité de se certifier à elle-même, non pas des vérités qui seraient relatives au caractère de la race ou du climat, subordonnées au crédit des magiciens ou des prêtres, à l’autorité des chefs politiques ou des pédagogues, mais la vérité, nécessairement et universellement vraie. Elle s’est donnée alors à elle-même la promesse d’une rénovation totale dans l’ordre des valeurs morales et religieuses. Or, soit que l’homo sapiens du pythagorisme ait trop présumé de sa force naissante, dans la lutte contre le respect superstitieux du passé, soit qu’il n’ait même pas réussi à engager le combat, on ne saurait douter que le succès de l’arithmétique positive ait, en fin de compte, servi d’argument pour consolider, pour revivifier, à l’aide d’analogies mystérieuses et fantaisistes, les propriétés surnaturelles que l’imagination primitive associe aux combinaisons numériques. La raison, impatiente de déployer en pleine lumière sa vertu intrinsèque et son efficacité, s’est heurtée à ce qui apparaît du dehors comme la révélation d’une Parole Sacrée, témoin « le fameux serment des Pythagoriciens : « Non, je le jure par Celui qui a révélé à notre âme la tétractys (c’est-à-dire le schème décadique formé par la série des quatre premiers nombres) qui a en elle la source et la racine de l’éternelle nature... » Le caractère mystique du Pythagorisme (ajoute M. Robin) se révèle encore par d’autres indices : c’est caché par un rideau, que le Maître parle aux novices, et le fameux : Il l’a dit (αὐτὸς ἔφα) ne signifie pas seulement que sa parole doit être aveuglément crue, mais aussi que son nom sacré ne doit pas être profané » .

Il est à remarquer que le conflit des tendances n’est pas resté à l’état latent : il y a eu, sans doute vers la fin du V^e siècle, un schisme dans la Société pythagoricienne, et qui a mis aux prises Mathématiciens et Acousmatiques. Ceux-ci (et les expressions dont se sert M. Robin sont tout à fait significatives), « pour conserver à l’Ordre une vie spirituelle, parallèle à celle de l’Orphisme et capable de la même force d’expansion ou de résistance, s’attachèrent avec une passion aveugle à l’élément sacramentel et mystérieux de la révélation, à des rites et à des formules : les Acousmatiques ont voulu être des croyants et des dévots. Les autres, sans abandonner formellement le credo des premiers, en jugèrent l’horizon trop étroit : ils voulurent être, et eux aussi pour le salut spirituel de leur Ordre, des hommes de science. Mais cela n’était possible qu’à la condition de renoncer à l’obligation du secret mystique et de justifier rationnellement des propositions doctrinales. Aux yeux des dévots, ces savants étaient donc des hérétiques. Mais ce sont eux, hommes de la seconde génération pythagorique, qui ont transformé en une école de philosophie l’association religieuse originaire. C’est pourtant celle-ci, réduite à ses rites et à ses dogmes, qui a survécu jusqu’au réveil néo-pythagoricien. »

Ainsi, dans l’évolution du pythagorisme se sont succédé ou se sont juxtaposées les formes extrêmes de la sagesse humaine et de la crédulité théosophique, correspondant elles-mêmes aux limites idéales du mouvement que nous nous proposons d’étudier dans le présent ouvrage. Toutefois, étant données l’incertitude et la confusion de notre information historique, pythagorisme et néo-pythagorisme demeurent comme au seuil de la conscience occidentale. Nous ne sommes capables de définir cette conscience qu’avec Socrate, c’est-à-dire avec le portrait qui nous a été laissé de lui par des Socratiques. A partir de ce moment, nous le savons, l’homme se rend compte qu’il a la charge de se constituer lui-même, en faisant fond sur un pouvoir pratique de réflexion qui lie la réforme de la conduite individuelle ou de la vie publique à la réforme de l’être intérieur. A partir de ce moment donc, la question se pose pour nous de savoir quel a été, dans le cours de la pensée européenne, l’usage effectif de ce pouvoir ; ce qui revient à esquisser une monographie de l’homo sapiens.

Rappelons ce que nous avons fait jusqu'ici : nous prenons la théorie des topoi comme "modèle mathématique" de ce que nous avons appelé "pensée selon l'être" (qui est en maths la pensée ensembliste) à la pensée selon l'Un

http://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/16/pensee-selon-letre-et-pensee-selon-lun/

http://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/16/lun-et-la-pensee-ensembliste/

L'Etre et l'Un, ou les éléments primitifs Etre et Savoir, sont inaccessibles à la pensée humaine, ou seulement comme condtions transcendantales; le topos le plus "bas" (dans la montée vers l'Absolu-Un) qui soit disponible est le topos des ensembles, "modèle" de l'ontologie comme théorie des multiplicités pures ("sans structure", sans "cohésion" autre que le compte-pour-un qui est la condition de l'existence d'un ensemble).

Le topos Ens des ensembles est un "élément terminal"dans la catégorie des topoi de Grothendieck : cela signifie qu'il n'existe qu'UNE SEULE flèche dirigée vers Ens à partir de n'importe quel autre topos.

la page à lire dans Nlab sur les topoi cohésifs est ici :

http://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

comme elle est en anglais le topos que nous appelons Ens y est noté Set (set = ensemble en anglais)

Le morphisme géométrique (unique puisque le topos des ensembles est un objet terminal) dirigé d'un topos vers le topos des ensembles envoie un "espace" (un objet du topos) vers son "ensemble des points" :

"The canonical global section geometric morphism Γ:ℰ→Set of a cohesive topos over Set may be thought of as sending a space X to its underlying set of points Γ(X). Here Γ(X) is X with all cohesion forgotten (for instance with the topology or the smooth structure forgotten)"

ce morphisme est un foncteur, appelé "section globale", il consiste à "oublier" la structure sur le topos général pour obtenir la multiplicité pure des "points", qui est un ensemble.

En dessous du topos des ensembles, nous quittons le domaine des mathématiques, qui est clui des structures, pour le multiple pur, inconsistant, qui est celui de Cantor et Badiou, le domaine de l'ontologie. Puisque le topos des ensembles est celui où toute structure aété "oubliée", on ne peut pas aller "plus bas" vers l'être et le multiple pur : voilà le sns du fait que Ens est un objet terminal dans la catégorie des topoi (munie des morphisme géométriques comme flèches).

voici la page de Nlab sur le foncteur "section globale", qui se généralise aux topoi à partir de la géométrie des fibrés ( = "bundles") :

http://ncatlab.org/nlab/show/global+section

mais voyons la manière, là encore inspirée des travaux de Lawvere , dont nous pouvons complexifier le modèle mathématique des morphismes géométriques qui nous  sert de "représentation" de l'irreprésentable, à savoir l'élément neutre ou fondamental de la loi de création de Wronski.

A partir du foncteur  section globale d'un topos noté E dans Nlab mais que nous noterons ES comme référence à l'élément savoir de Wronski :

  Γ : ES --------------------------> Ens

nous pouvons généralement trouver deux foncteurs adjoints à Γ :

un foncteur adjoint à gauche appelé Disc dans Nlab , Disc pour "discrete" :

Disc :  Ens ---------------------------> ES

et un foncteur adjoint à droite :

Codisc :  Ens ------------------------> ES

dans le cadre des structures topologiques, Disc envoie un ensemble sur l'espace ayant pour points les éléments de cet ensmble et pour topologie la topologie dite discrète, où les "ouverts"  consistent en tous les sous-ensembles , voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/discrete+and+codiscrete+topology

et Codisc donne l'espace topologique  avec la topologie où les euls ouverts sont l'ensemble total et l'ensemble vide.

Mais la structure complète consiste en un quadruplet d'adjonction, avec un quatrième foncteur :

Π₀ :  ES --------------------------------> Ens

qui envoie un espace du topos ES sur ses composantes connexes :

http://ncatlab.org/nlab/show/connected+topos

ce foncteur est adjoint à gauche de Disc, et au total nous avons quatre foncteurs adjoints, selon la suite :

Π₀    ⊣   Disc  ⊣   Γ       ⊣  Codisc

Dans mon ancien blog je m'étais livré à une violente critique de la pensée politique  de Badiou, je ne le regrette pas mais il vaut mieux entrer dans ce gouffre sans fond par la porte principale : la philosophie mathématique...or je n'avais pas encore à ma disposition les séminaires qui sont ici :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/seminaire.htm

la plupart disponibles en notes, résumées certes mais très claires selon mes premières impressions.

(re) commençons donc le travail de Sisyphe de l'antibadiousisme primaire à partir du séminaire de 93-94 sur les catégories :

"Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse.

Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.[1]

La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation.

La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers.

La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur.

On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure.

En continuant la métaphore, on pourrait dire que la théorie des topos est une investigation du concept d’univers, donc une théorie des univers, tandis que la théorie des ensembles est une création d’univers, ce n’est pas une théorie d’univers -on peut même dire qu’elle n’a pas de concept d’univers -, mais une effectuation d’univers.

Ce point donne lieu à une confusion parce qu’il donne lieu à deux débats, en réalité différents, mais souvent confondus :

1) Est-ce que la mathématique est une théorie des possibles, ou est-ce qu’elle est une création d’univers ? Est-elle une investigation formelle des possibles, ou l’investigation d’un univers constitué ?

Vision logique et formaliste d’un côté, vision réaliste et intuitive de l’autre.

2) La théorie des ensembles est-elle le meilleur univers possible, au sens où Leibniz dit que le monde existant est le meilleur possible. Quelle est la proximité de la mathématique et de la logique ?

Dans les controverses, ces deux questions sont souvent mélangées. La thèse dans laquelle nous sommes est la suivante : il n’y a pas d’unité de plans. Elle se donne dans un critère très simple : la théorie des catégories est une pensée définitionnelle ; elle décrit, par définitions, les traits constitutifs de ce que c’est qu’un univers possible. Une définition ne décide rien, c’est un opérateur d’identification, qui ne décide rien quant à l’existence. La théorie des ensembles repose toute entière sur des axiomes qui, eux, décident quant à des existences.

Quels sont, dans une tentative pour penser l’être en tant qu’être, les rapports entre le possible et l’effectif ? Aussi bien le virtuel et l’actuel. C’est une question essentielle de toute l’histoire de la philosophie. Une des caractéristiques de la théorie des ensembles est qu’elle est entièrement dans l’actuel ; il n’y a pas de virtuel en elle.

La théorie platonicienne des Idées est une doctrine de l’actuel. La pensée est sous condition de l’existence en acte des Idées.

Dans le dispositif aristotélicien, ce qui est, la substance, est dans un rapport de la puissance et de l’acte. Il finit par y avoir un acte pur qui est dieu. Mais ce qu’il y a, c’est la réalisation de son acte immanent existant en puissance.

Deleuze est la plus forte pensée contemporaine de l’être comme actualisation. L’essence de l’être est le virtuel et pas l’actuel, pour Deleuze. Le cahot est la virtualité anarchique pure. Donc, tout est actualisation.

Dans ma pensée, il n’y a pas de virtuel. Le possible est lui-même une projection de l’actuel"

ce "factuellement" m'ennuie fortement : la théorie des topoi n'est certes pas une alternative, mais un dépassement, tout autant qu'une perfection de la théorie des ensembles; il n'y a certes plus concurrence entre les deux, et là je préfère m'adresser au "working mathematician" qu'au philosophe !

La théorie des catégories est à la théorie des ensembles dans la même situation, ou relation, que la philosophie idéaliste de Platon relativement au réalisme de la substance  d'Aristote .

"La théorie des ensembles est une création d'univers" : cette proposition délirante illustre bien la différence entre une pensée athée, qui veut se débarrasser de Dieu en attribuant ses "propriétés" les plus irrationnelles (celle de Créateur) à la pensée humaine, et une pensée "religieuse" (celle proposée ici) qui fait simplement descendre la sphère divine jusqu'à la sphère humaine : appelons "évènement" le contact et nous sommes badiousiens !

d'ailleurs il est à remarquer que le "progrès de la pensée" se fait par sauts et discontinuités !

Il est visible, voire évident, que la "pensée" de Badiou n'est pas véritablement scientifique, mais "contrainte" par sa haine implicite contre le christianisme , qui le pousse aussi à donner le change avec son "Saint Paul" (lui aussi "avance masqué" !)  ainsi qu'à prendre fait et cause pour l'islamisme en hurlant avec tous les autres "matons de Panurge" à l'islamophobie (il serait intéressant de savoir ce qu'il pense de Mohammed Merah !).

Cela l'entraîne dans les grosses bourdes comme celle ci :

"La théorie des ensembles est une option ontologique. Cette option ontologique, en dépit du fait qu’elle soit souvent appelée platonicienne, est en réalité une option d’un matérialisme absolu, démocritéen, ou lucrétien, ou épicurien. Quels en sont les traits ?

- L’un n’existe pas. Donc, il n’y a pas de principe, pas de transcendance. Il y a un étalement multiple qui n’est jamais subsumable sous une figure canonique de l’un. Le multiple est toujours multiple de multiples. Donc le il y a pur est simplement dans la forme de la multiplicité. C’est un dispositif radicalement soustrait à l’univers appelé l’onto-théologie par Heidegger, dispositif historial de la métaphysique."

seulement l'ontologie ne se libèrera jamais du dispositif onto-théologique, théorie des ensembles ou pas, et surtout, l'Un n'est pas un "principe de transcendance" mais d'immanence radicale !

C'est l' Etre qui est "principe de transcendance" !

la non-philosophie de Laruelle s'expose depuis une pensée de l'immanence de "l' un-en-tant-qu'un" , mais c'est évidemment Brunschvicg, le "dernier" philosophe français universel, qu'il faut lire pour comprendre la véritable nature du spiritualisme et de l'idéalisme, consistant à remplacer la Transcendance pour l'intériorité et l'immanence de l'esprit.

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/vraie_et_fausse_conversion.html

"Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. En dépit de l’adage, ens et unum non convertuntur. Il est manifeste, en effet, que le, type des « jugements de relation, » : l’Un est un, est orienté à l’inverse exactement du type des « jugements d’existence » : l’Un est. Les deux types de jugement, sous la forme d’absolu où Platon les considère, se détruisent, non pas par leur opposition réciproque seulement, mais aussi chacun pour soi : « L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un  »

...Or, si c’est un premier fait que l’impulsion a été donnée au progrès du rationalisme par la réflexion platonicienne quand elle a opposé, au sein même du monisme de Parménide, le réalisme de l’être et l’idéalisme de l’un, il y a un second fait qui lui est parallèle. Quand on considère les doctrines issues du Verbe héraclitéen on s’aperçoit que si elles ont, elles aussi posé sur son terrain véritable ce même problème de l’intelligence humaine, c’est qu’une lutte séculaire s’est engagée, à leur intérieur même, entre la spiritualité pure de la pensée et la matérialité des expressions théologiques ou métaphysiques qui, successivement, l’ont incarnée avec l’illusion de lui conférer une apparence d’être. Dans l’histoire de la philosophie occidentale, rien n’est significatif à cet égard, comme l’exégèse stoïcienne de la mythologie, particulièrement en ce qui concerne la fonction médiatrice d’Hermès dans son double personnage de Verbe intime et de Verbe proféré. "